Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

1. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für reelle Zahlen
Die CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung gilt für alle reellen Zahlen
(1.117a)

oder

(1.117b)

Für zwei endliche Zahlenfolgen mit jeweils n Zahlen ist der Betrag der Summe ihrer paarweisen Produkte kleiner oder gleich dem Produkt der beiden Quadratwurzeln aus den Summen der Quadrate dieser Zahlen. Das Gleichheitszeichen gilt nur für .
Wenn n =3 ist und {a1, a2, a3} und {b1, b2, b3} als rechtwinklige kartesische Koordinaten von Vektoren aufgefaßt werden, dann besagt die Ungleichung von CAUCHY-SCHWARZ, daß das skalare Produkt zweier Vektoren betragsmäßig kleiner oder gleich dem Produkt der Beträge dieser Vektoren ist. Wenn n >3 ist, dann kann diese Aussage auf Vektoren im n-dimensionalen euklidischen Raum ausgedehnt werden.

2. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für komplexe Zahlen
Für beliebige komplexe Zahlen gilt:
(1.118)

Mit werden die konjugiert komplexen Zahlen zu bezeichnet.

3. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für konvergente unendliche Reihen und Integrale
Ein Analogon zu (1.117b) ist die CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung für konvergente unendliche Reihen sowie für bestimmte Integrale:
(1.119)
(1.120)