Aufgabenstellung

1. Extremum eines Integralausdrucks

In der Differentialrechnung besteht eine wichtige Aufgabe darin, festzustellen, für welche x-Werte eine vorgegebene Funktion y(x) einen Extremwert hat. In der Variationsrechnung lautet die entsprechende Frage: Für welche Funktionen nimmt ein bestimmtes Integral, dessen Integrand von dieser Funktion und deren Ableitungen abhängt, einen Extremwert an? In der Variationsrechnung wird demzufolge ein ganzer Funktionsverlauf y(x) gesucht, der einen Integralausdruck der Form

zum Extremum macht, wenn y(x) eine bestimmte, genau charakterisierte Funktionenklasse durchläuft. Dabei können für die Funktionen y(x) und deren Ableitungen noch zusätzliche Bedingungen, sogenannte Rand- und Nebenbedingungen, gestellt werden.

2. Integralausdrücke der Variationsrechnung

An Stelle der unabhängigen Variablen x können in (10.1) auch mehrere Variablen stehen. Die auftretenden Ableitungen sind dann partielle Ableitungen, und das Integral in (10.1) entspricht einem mehrfachen Integral. Im wesentlichen werden in der Variationsrechnung Aufgaben mit folgenden Integralausdrücken untersucht:

Die gesuchte Funktion ist , und stellt einen ebenen Integrationsbereich dar.

Die gesuchte Funktion ist , und R stellt einen räumlichen Integrationsbereich dar.
Für die Lösungen eines Variationsproblems können zusätzliche Randbedingungen vorgegeben sein, die im eindimensionalen Fall an den Intervallrändern a und b bzw. auf dem Rand des Integrationsgebietes im zweidimensionalen Fall gelten sollen. Darüber hinaus können den Lösungen noch verschiedene Arten von Nebenbedingungen, z.B. in Integralform oder als Differentialgleichung vorgeschrieben sein.

Ein Variationsproblem heißt von erster bzw. höherer Ordnung je nachdem, ob die Funktion F im Integralausdruck der Variationsaufgabe nur die erste Ableitung y' oder höhere Ableitungen der Funktion y enthält.

3. Parameterdarstellung der Variationsaufgabe

Ein Variationsproblem kann auch in Parameterdarstellung vorliegen. Für die Kurvendarstellung hat dann z.B. der Integralausdruck (10.2) die Form