Einfache Variationsaufgabe

Eine der einfachsten Aufgaben mit Funktion von mehreren Variablen stellt das folgende Variationsproblem für ein Doppelintegral dar:

Dabei soll die gesuchte Funktion u =u(x,y) auf dem Rand des Bereiches G gegebene Werte annehmen. Analog zum Abschnitt EULERsche Differentialgleichung werden Vergleichsfunktionen der Form

angesetzt, wobei u₀(x,y) eine Lösung der Variationsaufgabe (10.44) ist und die vorgegebenen Randwerte annimmt, während die Bedingung

erfüllt und wie u₀(x,y) entsprechend oft partiell differenzierbar ist.
Die Größe ist ein Parameter. Durch u =u(x,y) wird eine Fläche beschrieben, die der Lösungsfläche u₀(x,y) benachbart ist. Mit (10.45) geht I[u] in über, d.h., aus der Variationsaufgabe (10.44) wird eine Extremwertaufgabe, die die notwendige Bedingung

erfüllen muß. Daraus folgt die EULERsche Differentialgleichung

als notwendige Bedingung für die Lösung der Variationsaufgabe (10.44).

Beispiel

Eine unbelastete Membran, die am Rand eines Bereiches G der x,y-Ebene eingespannt ist, überdeckt eine Fläche mit dem Inhalt

Wird die Membran durch eine Belastung so deformiert, daß jeder Punkt eine Auslenkung u =u(x,y) in z-Richtung erfährt, dann wird ihr Flächeninhalt nach der Formel

berechnet. Linearisiert man den Integranden in (10.49b) nach TAYLOR, dann erhält man die Beziehung

Für die potentielle Energie U der deformierten Membran gilt

wobei die Konstante als Spannung der Membran bezeichnet wird. Auf diese Weise entsteht das sogenannte DIRICHLETsche Variationsproblem: Die Funktion u=u(x,y) ist so zu bestimmen, daß sie das Funktional

zu einem Extremum macht und auf dem Rand des ebenen Gebietes G verschwindet. Die zugehörige EULERsche Differentialgleichung lautet

Es handelt sich um die LAPLACEsche Differentialgleichung für Funktionen von zwei Variablen.