Einfache Variationsaufgabe und Extremale

Als einfache Variationsaufgabe soll die folgende Aufgabe bezeichnet werden:
Es sind Extremwerte von Integralausdrücken der Form

zu bestimmen, wenn y(x) alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen, die den Randbedingungen y(a)=A und y(b)=B genügen, durchläuft. Die Werte a,b und A,B sowie die Funktion F sind gegeben.
Der Integralausdruck (10.11) ist ein Beispiel für ein sogenanntes Funktional, das dadurch gekennzeichnet ist, daß es jeder Funktion y(x) aus einer bestimmten Funktionenklasse eine reelle Zahl zuordnet.
Nimmt das Funktional I[y] von (10.11) z.B. für die Funktion y₀(x) ein relatives Maximum an, dann gilt

beim Vergleiche mit allen anderen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen , die den Randbedingungen genügen. Die Kurve y=y₀(x) wird als Extremale bezeichnet. Manchmal werden auch alle Lösungen der EULERschen Differentialgleichung der Variationsrechnung als Extremalen bezeichnet.