Lemma von Jordan

In vielen Fällen lassen sich reelle uneigentliche Integrale mit unbeschränktem Integrationsgebiet durch komplexe Integrale über geschlossene Wege berechnen. Um dabei immer wiederkehrende Abschätzungen zu vermeiden, benutzt man das Lemma von JORDAN, das sich auf Integrale der Form

bezieht, wobei K_R der in der oberen Halbebene der z-Ebene gelegene Halbkreisbogen um den Nullpunkt mit dem Radius R ist (s. Abbildung).

Das Lemma von JORDAN unterscheidet folgende Fälle:

1. Strebt f(z) in der oberen Halbebene und auf der reellen Achse für gleichmäßig gegen Null und ist eine positive Zahl, dann gilt für
2. Strebt der Ausdruck für gleichmäßig gegen Null, dann gilt die Aussage (14.58a) auch im Falle .
3. Liegt der Halbkreis unterhalb der reellen Achse, dann gilt die entsprechende Aussage auch für .
4. Der Satz gilt auch, wenn es sich statt um einen vollen Halbkreis um einen Teilbogen handelt.
5. Der entsprechende Sachverhalt liegt für Integrale der Form

   vor, wenn K^*_R einen Halbkreis bzw. Teilbogen in der linken Halbebene mit darstellt, bzw in der rechten mit .