Graphische Differentiation

Wenn eine differenzierbare Funktion y = f(x) durch ihre Kurve in kartesischen Koordinaten in einem Intervall a < x < b dargestellt ist, kann die Kurve ihrer Ableitung näherungsweise konstruiert werden. Die Konstruktion einer Tangente in einem gegebenen Kurvenpunkt nach Augenmaß kann recht ungenau ausfallen. Wenn aber die Richtung der Tangente MN (s. Abbildung) bekannt ist, kann der Berührungspunkt A genauer ermittelt werden.

a) Konstruktion des Berührungspunktes einer Tangente:

Parallel zur gegebenen Tangentenrichtung MN werden zwei Sehnen und so eingezeichnet, daß die Kurve in nicht weit voneinander liegenden Punkten geschnitten wird. Danach werden die Mittelpunkte der Sehnen ermittelt und durch diese eine Gerade PQ gezogen, die die Kurve im Punkt A schneidet, in dem die Tangente näherungsweise die vorgegebene Richtung MN hat. Um die Genauigkeit zu überprüfen, kann eine dritte parallele Sehne in geringem Abstand von den ersten beiden eingetragen werden, die von der Geraden PQ im Mittelpunkt geschnitten werden muß.

b) Konstruktion der Kurve einer abgeleiteten Funktion:

1. Vorgabe einiger Richtungen , die den Tangentenrichtungen der Kurve y = f(x) in dem betrachteten Intervall entsprechen sollen (s. Abbildung), und Ermittlung der dazugehörigen Berührungspunkte nach dem unter a) beschriebenen Verfahren, wobei die Tangenten selbst nicht konstruiert werden müssen.
2. Wahl eines Punktes P, eines Pols , auf der negativen x-Achse, wobei die Strecke PO = a um so größer sein soll, je flacher die Kurve ist.
3. Einzeichnen von Geraden, die parallel zu den Richtungen bzw. l_n verlaufen, durch den Pol P hindurchgehen und die y-Achse in den Punkten bzw. B_n schneiden.
4. Konstruktion horizontaler Geraden von den Punkten aus bis zu den Schnittpunkten mit den aus den Punkten gefällten Loten.
5. Verbinden der Punkte mit Hilfe eines Kurvenlineals durch eine Kurve, die der Gleichung y = a f'(x) genügt. Wenn die Strecke a so gewählt wird, daß sie der Längeneinheit auf der y-Achse entspricht, ist die gewonnene Kurve die der gesuchten Ableitung. Ist das nicht der Fall, dann sind die gefundenen Ordinaten der Ableitung mit dem Faktor zu multiplizieren. Die sich so ergebenden Punkte in der rechten Abbildung liegen auf der maßstabsgerechten Ableitungskurve .