Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Wenn eine Funktion y =f(x) in einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig ist und im Innern eine Ableitung besitzt, dann existiert zwischen a und b wenigstens eine Zahl c derart, daß gilt

Setzt man b =a + h und bezeichnet mit eine zwischen 0 und 1 liegende Zahl, dann lautet der Satz in anderer Schreibweise

Die geometrische Bedeutung des Satzes besteht darin, daß eine Funktion , die zwischen den Punkten A und B (s. Abbildung) stetig ist und in jedem Punkt eine nichtvertikale Tangente besitzt, wenigstens einen Kurvenpunkt C hat, in dem die Kurventangente parallel zur Sehne AB liegt (s. Abbildung).

Es kann auch mehrere solcher Punkte geben. Daß die Forderung nach Stetigkeit der Funktion und Existenz ihrer Ableitung wesentlich ist, kann an Hand von Beispielen gezeigt werden, die solche Kurvenverläufe ergeben, wie sie in den folgenden Abbildungen dargestellt sind.

Anwendungen: Für den Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es vielfache Anwendungsmöglichkeiten.

Eine Anwendung betrifft die Abschätzung von Fehlern gemäß

wobei K eine für alle x in dem Intervall [a,b] gültige obere Schranke von |f'(x)| ist.

Beispiel

Mit welcher Genauigkeit kann höchstens angegeben werden, wenn für der gerundete Wert eingesetzt wird? Es gilt: so daß