Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes

Ein relatives Maximum oder Minimum kann bei einer stetigen Funktion nur in den Punkten auftreten, in denen die Ableitung entweder verschwindet oder nicht definiert ist. Das bedeutet: In den Kurvenpunkten, die relativen Extremwerten entsprechen, verläuft die Tangente entweder parallel zur x-Achse (linke Abbildung) oder parallel zur y-Achse (mittlere Abbildung) oder sie existiert gar nicht (rechte Abbildung).

Allerdings handelt es sich hierbei nicht um hinreichende Bedingungen, was an Hand der Punkte A, B, C in der folgenden Abbildung erkennbar ist, für die diese Bedingungen erfüllt sind, in denen es aber keine Extrema gibt.

Wenn eine stetige Funktion relative Extremwerte besitzt, dann wechseln Maxima und Minima einander ab, so daß zwischen zwei benachbarten Maxima stets ein Minimum liegt und umgekehrt.