Mittelwertsatz und verallgemeinerter Mittelwertsatz

1. Mittelwertsatz:

Wenn eine Funktion f(x) im Intervall [a,b] stetig ist, dann gibt es im Innern des Intervalls mindestens einen Wert derart, daß für und für gilt:

Der geometrische Sinn dieses Satzes besteht darin, daß es zwischen den Punkten a und b einen Punkt gibt, für den der Flächeninhalt der Figur ABCD gleich dem des Rechtecks AB'C'D in der folgenden Abbildung ist.

Der Wert

heißt Mittelwert oder das arithmetische Mittel der Funktion f(x) im Intervall .

2. Verallgemeinerter Mittelwertsatz:

Sind die Funktionen f(x) und im abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig und ändert in diesem Intervall sein Vorzeichen nicht, dann gibt es im Innern des Integrationsgebietes mindestens eine Zahl , so daß gilt: