Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals

  1. Zerlegung der zu berechnenden Größe in eine sehr große Anzahl hinreichend kleiner, d.h. inifinitesimaler Größen:
    (8.57)
  2. Ersetzen jeder dieser infinitesimalen Größen ai durch eine Größe , die in ihrer Form nur wenig von ai abweicht und deren Berechnung nach einer bekannten Formel möglich ist. Dabei soll der Fehler gegenüber ai und eine infinitesimale Größe höherer Ordnung sein.
  3. Darstellung der Größe durch eine Variable x und eine Funktion , die so gewählt werden, daß die Gestalt annimmt.
  4. Berechnung der gesuchten Größe als Grenzwert der Summe
    (8.58)

    wobei für alle i gelten muß. Mit a und b sind die Randwerte von x bezeichnet.

Beispiel

Berechnung des Rauminhalts einer Pyramide der Grundfläche S und der Höhe H (s. linke Abbildung):

Bild

  1. Zerlegung des zu berechnenden Rauminhaltes V durch ebene Schnitte in Volumina dünner Pyramidenstümpfe (s. mittlere Abbildung): .
  2. Ersetzen eines jeden Pyramidenstumpfes durch ein Prisma mit der gleichen Höhe und einer Grundfläche, die gleich der oberen Grundfläche des Pyramidenstumpfes ist (s. mittlere Abbildung). Die Volumenabweichung ist eine infinitesimale Größe von höherer Ordnung als .
  3. Darstellung der Volumenformel in der Form , wobei hi der Abstand der oberen Fläche von der Pyramidenspitze ist. Wegen Si : S = hi2 : H2 kann man schreiben: .
  4. Berechnung des Grenzwertes der Summe