Normalform und Anzahl der Lösungen

1. Normalform:

ax³ +bx²+cx+d=0 (1.155a)

oder nach Division durch a und Substitution von

mit

2. Anzahl der Lösungen:

In Abhängigkeit vom Vorzeichen der Diskriminante

D = q² + p³ (1.156)

ergibt sich:

• für D > 0 eine reelle Lösung (eine reelle und zwei komplexe Wurzeln),
• für D < 0 drei reelle Lösungen (drei verschiedene reelle Wurzeln),
• für D = 0 eine reelle Lösung (eine dreifache reelle Wurzel) im Falle p = q = 0 oder zwei reelle Lösungen (eine einfache reelle Wurzel und eine zweifache reelle Wurzel) im Falle

3. Eigenschaften der Wurzeln der kubischen Gleichung:

Sind und x₃ die Wurzeln der kubischen Gleichung (1.155a), dann gilt:

Hinweis: Zur Lösung der Gleichung 3. Grades werden in den nächsten drei Abschnitten drei Methoden betrachtet. Eine vierte Lösungsmethode beruht auf Näherungsverfahren.