Komplexe Wurzeln

Komplexe Wurzeln können auch als Lösungen von Polynomgleichungen mit reellen Koeffizienten auftreten, aber nur paarweise konjugiert komplex, d.h., wenn eine Wurzel ist, dann ist auch eine, und zwar mit der gleichen Vielfachheit. Mit und woraus folgt, gilt

Wird in (1.166a) das Produkt eines jeden Paares derartiger Faktoren gemäß (1.168) ersetzt, dann ergibt sich eine Zerlegung des Polynoms mit reellen Koeffizienten in reelle Faktoren gemäß

P(x) = (1.169)

Dabei sind die l reellen Wurzeln des Polynoms . Es hat außerdem r Paare von konjugiert komplexen Wurzeln, die man als Nullstellen der quadratischen Faktoren erhält. Die Zahlen und sind reell, und es gilt .