Anzahl der Wurzeln einer Gleichung mit reellen Koeffizienten

Aus den Darlegungen im voranstehenden Abschnitt Komplexe Wurzeln folgt, daß jede Gleichung ungeraden Grades mindestens eine reelle Wurzel besitzt. Die Anzahl weiterer reeller Wurzeln der Gleichung (1.165a) zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen a und b, wobei a < b ist, kann folgendermaßen bestimmt werden:

a) Abspalten der mehrfachen Wurzeln:
Zuerst werden die mehrfachen Wurzeln von P(x) = 0 abgespalten, so daß sich eine Gleichung ergibt, die alle Wurzeln, aber nur noch mit der Vielfachheit 1 enthält. Dazu kann, wie beim Fundamentalsatz der Algebra erläutert, verfahren werden. Praktischer ist es jedoch, gleich nach der STURMschen Methode mit der Bestimmung der STURMschen Kette (der STURMschen Funktionen) zu beginnen. Wenn der letzte von Null verschiedene Rest Pm keine Konstante ist, dann besitzt P(x) mehrfache Wurzeln, die abzuspalten sind.
b) Bildung der Folge der Sturmschen Funktionen:
(1.170)

Hier ist P(x) die linke Seite der gegebenen Funktion, P'(x) ist die erste Ableitung von , P1(x) der Rest der Division von P(x) durch , aber genommen mit entgegengesetztem Vorzeichen, P2(x) der ebenfalls mit entgegengesetztem Vorzeichen genommene Rest der Division von P'(x) durch P1(x) usw.; ist der letzte, aber konstante Rest. Zur Vereinfachung der Rechnung kann man die gefundenen Reste mit konstanten positiven Faktoren multiplizieren, ohne daß sich das Ergebnis ändert.

c) Theorem von Sturm:
Wenn A die Anzahl der Vorzeichenwechsel, d.h. die Anzahl der Übergänge von +  nach -   und umgekehrt in der Folge (1.170) für x = a ist und B die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge (1.170) für , dann ist die Differenz A - B gleich der Anzahl der reellen Wurzeln der Gleichung P(x) = 0 im Intervall . Sind in der Zahlenfolge einige Zahlen gleich Null, dann werden diese bei der Abzählung der Vorzeichenwechsel ausgelassen.
Beispiel

Für die Gleichung x4-5x2+8x-8 = 0 ist die Anzahl der Wurzeln im Intervall [0,2] zu bestimmen.
Die Berechnung der STURMschen Funktion ergibt:


Einsetzen von x = 0 liefert die Folge -8, +8, +16, +284, -1 mit zwei Wechseln, Einsetzen von x = 2 liefert +4, +20, +12, +278, -1 mit einem Wechsel, so daß A - B = 2 - 1 = 1, d.h., zwischen 0 und 2 liegt eine Wurzel.
d) Descartessche Regel:
Die Anzahl der positiven Wurzeln der Gleichung P(x) = 0 ist nicht größer als die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge des Polynoms P(x) und kann sich von dieser nur um eine gerade Zahl unterscheiden.
Beispiel

Was kann über die Wurzeln der Gleichung x4 + 2x3 - x2 + 5x - 1 = 0 ausgesagt werden?
Die Koeffizienten der Gleichung haben nacheinander die Vorzeichen d.h., das Vorzeichen wechselt dreimal.
Die Gleichung besitzt in Übereinstimmung mit der Regel von DESCARTES entweder eine oder drei positive Wurzeln.
Da beim Ersetzen von x durch -x die Wurzeln der Gleichung ihre Vorzeichen ändern, sich aber bei der Substitution von x durch x + h um h verringern, kann gemäß der Regel von DESCARTES auch die Anzahl der negativen Wurzeln sowie die Anzahl der Wurzeln, die größer sind als h, abgeschätzt werden.
Im vorliegenden Beispiel führt das Ersetzen von x durch -x auf die Gleichung
x4 -2x3 -x2 -5x -1 = 0, d.h., die Gleichung besitzt eine negative Wurzel. Substituiert man x durch x + 1, dann ergibt sich x4 +6x3 +11x2 +13x +6 =0, d.h., alle positiven Wurzeln der Gleichung (eine oder drei) sind kleiner als 1.