Erste und zweite Variation

Bei der Herleitung der EULERschen Differentialgleichung mit Hilfe von Vergleichsfunktionen wurde die TAYLOR-Entwicklung des Integranden von

(10.62)

nach den bezüglich linearen Gliedern abgebrochen. Berücksichtigt man auch die quadratischen Glieder, dann erhält man

=  
  +  
  + (10.63)


Bezeichnet man als
1. Variation 
des Funktionals I[y] den Ausdruck
(10.64)
2. Variation 
des Funktionals I[y] den Ausdruck
(10.65)

dann kann man schreiben:

(10.66)

Mit Hilfe dieser Variationen lassen sich die verschiedenen Optimalitätsbedingungen für das Funktional I[y] formulieren (s. [10.6]).