Definition des Integrals

Sei ein Maßraum. Das Integral (oder auch mit bezeichnet) für meßbare Funktionen f wird schrittweise wie folgt definiert:

1. f sei eine Elementarfunktion , dann setzt man
2. Ist , dann setzt man
3. Ist und positiver bzw. negativer Teil von , dann setzt man

   unter der Bedingung, daß wenigstens eines der Integrale auf der rechten Seite endlich ist, um den unbestimmten Ausdruck zu vermeiden.

4. Für eine komplexwertige Funktion setzt man, falls für die Funktionen g, h die nach (12.204) definierten Integrale endlich sind,
5. Kann für eine meßbare Menge A und eine Funktion f nach den angegebenen Festlegungen das Integral der Funktion definiert werden, dann setzt man

Das Integral einer meßbaren Funktion ist im allgemeinen eine Zahl aus . Eine Funktion nennt man integrierbar oder summierbar über bezüglich , wenn sie meßbar ist und gilt.