Kapitel 12: Funktionalanalysis
- 1. Begriff der Funktionalanalysis
- Die Funktionalanalysis entstand, als man erkannte, daß viele Probleme aus verschiedenen Disziplinen, z.B. aus den Natur- und Technikwissenschaften und aus der Ökonomie, gemeinsame Strukturen aufweisen. Man entdeckte allgemeingültige Prinzipien, die in enger Wechselwirkung mit der mathematischen Analysis, der linearen Algebra, der Geometrie sowie anderer Gebiete der Mathematik entstanden und entwickelte eine einheitliche Begriffswelt.
- 2. Unendlichdimensionale Räume
- Viele Probleme, deren mathematische Formulierung auf unendliche Gleichungs- und Ungleichungssysteme, Differential- oder Integralgleichungen, Approximations-, Variations- und Optimierungsprobleme u.a. führt, sprengen den viel zu engen Rahmen des endlichdimensionalen Raumes und verlangen als natürliche Grundlage einen unendlichdimensionalen Raum, in dem sie im allgemeinen mit Hilfe einer Operatorenbeziehung formuliert, untersucht und gelöst werden können.
- 3. Lineare und nichtlineare Operatoren
- Waren es am Anfang der Formierung der Funktionalanalysis - etwa in der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts - vorwiegend lineare oder linearisierte Probleme, die die Entwicklung einer Theorie linearer Operatoren motivierten, so bestimmen in den letzten Jahrzehnten, hauptsächlich aus den Erfordernissen praktischer Anwendungen der Funktionalanalysis resultierend, auch immer mehr nichtlineare Phänomene und ihr Zusammenspiel mit den gut entwickelten linearen Methoden das aktuelle Bild der Funktionalanalysis, was zur Herausbildung der Theorie nichtlinearer Operatoren führte. Charakteristisch ist eine zunehmende Orientierung auf Anwendungen bei der Lösung von Differentialgleichungen, bei den numerischen Methoden, in der Optimierung usw., wodurch Denkweisen und Methoden der Funktionalanalysis für Ingenieure und andere Anwender unverzichtbar werden.
- 4. Grundstrukturen:
- Im vorliegenden Kapitel können nur die Grundstrukturen umrissen werden: die gebräuchlichsten Typen von Räumen und einige Klassen von Operatoren in diesen Räumen. Die abstrakte Begriffswelt wird an einigen Beispielen erläutert, die auch in anderen Kapiteln, teilweise eigenständig, erörtert worden sind, deren Lösbarkeit oder Eindeutigkeit der Lösung dort aber nur postuliert oder im Einzelfalle speziell gezeigt werden konnte. Es wird ersichtlich, daß die Funktionalanalysis für derartige und weitere Fragestellungen aus ihrem abstrakten Verständnis heraus eine ganze Reihe von allgemeinen Zusammenhängen in der Form mathematischer Sätze zur Verfügung stellt, die den Anwender in die Lage versetzen, die Lösung konkreter Probleme in Angriff zu nehmen.
