Banachscher Fixpunktsatz

Sei F eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen metrischen Raumes . Sei ein kontraktiver Operator auf , d.h., es existiert eine Konstante , so daß gilt

Sei für vorausgesetzt. Dann gilt:

1. Für einen beliebigen Startpunkt ist das Iterationsverfahren

   unbeschränkt ausführbar, d.h., für jedes n gilt .

2. Die Iterationsfolge konvergiert gegen ein Element .
3. Es gilt
4. Der einzige Fixpunkt von T in F ist .
5. Es gilt die Fehlerabschätzung

Im Zusammenhang mit dem BANACHschen Fixpunktsatz spricht man vom Prinzip der kontrahierenden Abbildung oder dem Kontraktionsprinzip.