Stetige Operatoren

Sei eine Abbildung des metrischen Raumes in den metrischen Raum . T heißt stetig im Punkt , wenn für jede Umgebung V=V(y0) des Punktes y0 = T(x0) eine Umgebung U=U(x0) existiert, so daß gilt:

(12.76)

T heißt stetig auf der Menge , wenn T in jedem Punkt der Menge A stetig ist. Äquivalente Eigenschaften zur Stetigkeit auf sind:

  1. Für einen beliebigen Punkt und eine beliebige Folge mit gilt stets , also impliziert .
  2. Für eine beliebige offene Teilmenge ist das Urbild T-1(G) eine offene Teilmenge in .
  3. Für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge ist das Urbild T-1(F) eine abgeschlossene Teilmenge in .
  4. Für eine beliebige Teilmenge gilt .