Skalarprodukt

Ein Vektorraum über dem Körper (meistens wird betrachtet) heißt Raum mit Skalarprodukt oder Innenproduktraum oder Prä-HILBERT-Raum, wenn jedem Paar von Elementen eine Zahl , das Skalarprodukt von x und y, zugeordnet ist, so daß für beliebige Elemente und beliebiges die folgenden Bedingungen, die Axiome des Skalarprodukts, erfüllt sind:

Hier bedeutet die zu konjugiert komplexe Zahl (in (1.137b) wurde diese mit bezeichnet).

Im Falle von , also eines reellen Vektorraums, ist einfach die Kommutativitätsforderung für das Skalarprodukt. Aus den Axiomen ergeben sich sofort zusätzlich noch die Eigenschaften