Laplacesche Differentialgleichung

Die Aufgabe der Bestimmung des Potentials U eines Vektorfeldes , in dem keine Quellen enthalten sind, führt gemäß (13.125) mit auf

(13.130a)

d.h. auf die LAPLACEsche Differentialgleichung. In kartesischen Koordinaten gilt:

(13.130b)

Alle Funktionen, die dieser Differentialgleichung genügen, stetig sind und stetige partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung besitzen, werden LAPLACEsche oder harmonische Funktionen genannt.

Es werden drei grundlegende Fälle von Randwertaufgaben unterschieden:

  1. Randwertaufgabe (für das Innengebiet) oder DIRICHLETsches Problem: Gesucht wird eine Funktion , die im Inneren eines gegebenen räumlichen bzw. ebenen Gebietes harmonisch ist und auf dem Rand des Gebietes vorgegebene Werte annimmt.
  2. Randwertaufgabe (für das Innengebiet) oder NEUMANNsches Problem: Gesucht wird eine Funktion , die im Inneren eines gegebenen Gebietes harmonisch ist und deren Normalenableitung auf dem Rand des Gebietes vorgegebene Werte annimmt.
  3. Randwertaufgabe (für das Innengebiet): Gesucht wird eine Funktion , die im Inneren eines Gebietes harmonisch ist, wobei auf dem Rand des Gebietes der Ausdruck
         vorgegebene Werte annimmt.