Berechnung des Kurvenintegrals in fünf Schritten

1. Einteilung des Weges (s. Abbildung) durch Zwischenpunkte
   in n kleinere Teilbogenstücke, die durch die Vektoren angenähert werden.
2. Wahl von Punkten M_i mit den Radiusvektoren , die im Innern oder auf dem Rande eines jeden Teilbogenstückes liegen können.
3. Skalare Multiplikation der Funktionswerte in den so ausgewählten Punkten mit .
4. Addition aller auf diese Weise erhaltenen n Produkte.
5. Berechnung des Grenzwertes der erhaltenen Summe für , also für
   .

Wenn der Grenzwert existiert und von der Wahl der Punkte A_i und M_i unabhängig ist, dann wird er als Kurvenintegral

bezeichnet. Die Existenz des Kurvenintegrals (13.96a,b) ist gesichert, wenn die Vektorfunktion und das Bogenstück stetig sind und wenn letzteres stetige Tangenten besitzt. Eine Vektorfunktion ist stetig, wenn die zu ihrer Beschreibung notwendigen drei skalaren Funktionen, ihre Komponenten, stetig sind.