Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als Oberflächenintegrale 2. Art

Die Existenzsätze für diese Integrale können in Analogie zu den für Oberflächenintegrale 2. Art angegebenen formuliert werden.
Bei der Berechnung der Zweifachintegrale werden zunächst die Projektionen von S auf die Koordinatenebenen gebildet (s. Abbildung), wobei eine der Variablen x, y oder z durch die beiden anderen mit Hilfe der Flächengleichung für S ausgedrückt werden muß.

Hinweis: Integrale über eine geschlossene Fläche werden durch die Darstellungsweise

gekennzeichnet.

Beispiel A

Es ist zu berechnen, wobei über das Ebenenstück x+y+z=1 zu integrieren ist, das zwischen den drei Koordinatenebenen eingeschlossen ist. Die obere Seite soll die positive sein:

.
In Analogie dazu berechnet man die beiden anderen Integrale. Das Ergebnis lautet: .

Beispiel B

Es ist über das gleiche Ebenenstück wie in Beispiel A zu integrieren:
.
Die beiden anderen Integrale werden in Analogie dazu berechnet. Das Ergebnis lautet: .

Beispiel C

Es ist zu berechnen, wobei über das gleiche Ebenenstück wie in Beispiel A zu integrieren ist: Die Ausführung der Rechnung liefert .