Integralsätze von Green

Die GREENschen Integralsätze liefern Zusammenhänge zwischen jeweils einem Raum- und einem Flächenintegral. Sie ergeben sich aus der Anwendung des GAUSSschen Satzes auf die Funktion , wobei U₁ und U₂ skalare Feldfunktionen sind und v das von der Fläche S eingeschlossene Volumen.

Speziell für U₁ = 1 gilt:

In kartesischen Koordinaten hat der 3. GREENsche Satz die folgende Form:

Beispiel A

Berechnung des Linienintegrals: mit K als Schnittkurve zwischen dem Zylinder x²+y²=a² und der Ebene . Nach dem Satz von STOKES erhält man:

mit und der Kreisfläche

Beispiel B

Gesucht ist der Fluß im Strömungsfeld durch die Oberfläche S der Kugel . Der Satz von GAUSS liefert:
.

Beispiel C

Wärmeleitungsgleichung: Die zeitliche Änderung des Wärmeinhaltes Q eines Raumteiles , der keine Wärmequellen enthalten soll, ergibt sich zu:
(c spezifische Wärmekapazität, Dichte, T Temperatur), während die damit verbundene zeitliche Änderung des Wärmeflusses durch die Oberfläche S von v durch ( Wärmeleitzahl) angegeben wird. Anwendung des Satzes von GAUSS auf das Oberflächenintegral ergibt aus die Wärmeleitungsgleichung , die im Falle eines homogenen Körpers ( Konstanten) die Gestalt hat.