Schwarz-Christoffelsche Formel

Durch die SCHWARZ-CHRISTOFFELsche Formel

wird das Innere eines Polygons mit den n Außenwinkeln der z-Ebene auf die obere w-Halbebene abgebildet (s. Abbildung).

Mit w_i sind die den Ecken des Polygons zugeordneten Punkte der reellen Achse der w-Ebene bezeichnet, mit t die Integrationsvariable. Der orientierte, also durch eine Richtung ausgezeichnete Rand des Polygons geht bei der Abbildung in die orientierte reelle Achse der w-Ebene über. Für große Werte von t verhält sich der Integrand wie 1/t² und ist im Unendlichen regulär.

Da die Summe aller Außenwinkel eines n-Ecks gleich ist, gilt:

Die komplexen Konstanten C₁ und C₂ bewirken eine Drehstreckung und eine Verschiebung, hängen aber nicht von der Form, sondern nur von Größe und Lage des Polygons in der z-Ebene ab.
Ist ein Polygon in der z-Ebene vorgegeben, dann können drei Punktpaare willkürlich einander zugeordnet werden. Ordnet man einem Eckpunkt des Polygons in der z-Ebene, z.B. , einen unendlich fernen Punkt der w-Ebene, also zu, dann ist der Faktor wegzulassen. Wenn das Polygon ausartet, z.B. dadurch, daß sich ein Eckpunkt im Unendlichen befindet, dann ist der zugehörige Außenwinkel gleich , also , d.h., das Polygon wird zum Halbstreifen.

Beispiel A

Für das in der linken Abbildung skizzierte Gebiet der z-Ebene wird die in der nachstehenden Tabelle für angegebene Zuordnung dreier Punkte gewählt.

							1			-1
				0			-1/2			0
							3/2

Die Abbildungsformel lautet:
.
Bei der Bestimmung von C₁ ist zu setzen:
d.h., .
Daß die Konstante C₂ =0 ist, geht aus der Zuordnung   hervor.

Beispiel B

Abbildung eines Rechtecks. Eckpunkte des abzubildenden Rechtecks seien
. Die Punkte z₁ und z₂ sollen in die Punkte w₁=1 und der reellen Achse übergehen, z₄ und z₃ sind Spiegelpunkte zu z₁ und z₂ bezüglich der imaginären Achse. Nach dem SCHWARZschen Spiegelungsprinzip müssen ihnen die Punkte w₄=-1 und w₃=-1/k entsprechen (s. Abbildung).

Damit lautet die Abbildungsformel für ein Rechteck
der oben skizzierten Lage
.
Punkt z=0 entspricht Punkt w=0 und Punkt Punkt . Mit C₁=1/k wird
,
wobei die Substitution verwendet wurde. Die Funktion ist ein elliptische Integral 1. Gattung.
Daß die Konstante C₂=0 ist, geht aus der Zuordnung   hervor.