Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene

Eine Funktion

gilt als definiert, wenn die zwei Funktionen u(x,y) und v = v(x,y) reeller Veränderlicher definiert und bekannt sind. Die Funktion f(z) braucht nicht analytisch zu sein, wie das bei der konformen Abbildung gefordert wird. Die Funktion w definiert eine neue komplexe Zahlenebene. Man sagt, sie bildet die z-Ebene in die w-Ebene ab, d.h., jeder Punkt wird in einem ihm entsprechenden Punkt abgebildet.

a) Transformation der Koordinatenlinien:

Koordinatenlinien transformieren sich gemäß:

y =

x = (14.31b)

b) Transformation geometrischer Gebilde:

Geometrische Gebilde wie Kurven oder Gebiete der z-Ebene transformieren sich zu Kurven oder Gebieten der w-Ebene, also zu gleichartigen geometrischen Gebilden:

Mit t ist der Parameter bezeichnet.

Beispiel

Für gehen die Geraden y=c über in , also in die Geraden . Die Geraden x = c₁ gehen über in die Geraden v=2u-3c₁ (s. Abbildung).

Die schraffierte Fläche in der linken Abbildung wird auf die schraffierte Fläche in der rechten Abbildung abgebildet.

c) Riemannsche Fläche:

Ist die Funktion w = f(z) mehrdeutig, wie z.B. die Funktionen , so erfolgt die Abbildung auf eine entsprechende Anzahl übereinander liegender Ebenen. Jedem Funktionswert der z-Ebene entspricht ein Punkt auf einer dieser Ebenen. Die Ebenen sind durch Kurven miteinander verbunden; ihre Gesamtheit wird mehrblättrige RIEMANNsche Fläche genannt (s. [14.16]).

Beispiel

: Überstreicht der Radiusvektor die volle z-Ebene, d.h. , dann überstreicht der zugehörige Radiusvektor , d.h. , nur die obere w-Halbebene. Erst bei einem zweiten Durchlauf der z-Ebene wird die volle w-Ebene durchlaufen. Diese Zweideutigkeit von bezüglich z wird dadurch behoben, daß man zwei z-Ebenen übereinanderlegt und längs der aufgeschnittenen negativen reellen Achse gemäß der folgenden Abbildung miteinander verbindet.

Die so entstehende Fläche heißt RIEMANNsche Fläche der Funktion . Der Nullpunkt heißt Verzweigungspunkt. Der Wertevorrat von liegt in entsprechender Weise auf der zweiblättrigen RIEMANNschen Fläche ausgebreitet.