Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes

Ist f(z) auf einer geschlossenen Kurve K und in dem von ihr umschlossenen einfach zusammenhängenden Gebiet analytisch, dann gilt für jeden inneren Punkt z dieses Gebietes (s. Abbildung) die Darstellung

wenn die Kurve K im Gegenuhrzeigersinn durchläuft.

Somit lassen sich die Funktionswerte einer analytischen Funktion im Innern eines Gebietes durch die Funktionswerte auf dem Rande des Gebietes ausdrücken.
Aus (14.42) ergeben sich Existenz und Integraldarstellung der n-ten Ableitung einer in einem Gebiet G analytischen Funktion:

Eine analytische Funktion ist demnach beliebig oft differenzierbar. Im Unterschied dazu folgt im Reellen aus der einmaligen Differenzierbarkeit nicht die wiederholte Differenzierbarkeit.
Die Gleichungen (14.42) und (14.43) werden CAUCHYsche Integralformeln genannt.