Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern

Eine Reihe mit komplexen Gliedern a_n konvergiert gegen eine Zahl , die Summe der Reihe, wenn gilt

Verbindet man die Punkte, die durch die Zahlen in der z-Ebene gegeben sind, durch einen Polygonzug miteinander, dann bedeutet Konvergenz der Reihe die Annäherung des Polygonzugendes an die Zahl .

Beispiel A

.

Beispiel B

(s. Abbildung).

Man spricht von absoluter Konvergenz (s. Beispiel B), wenn auch die Reihe der Absolutbeträge ihrer Glieder konvergiert, von bedingter Konvergenz (s. Beispiel A), wenn die Reihe konvergiert, die Reihe ihrer Absolutglieder jedoch divergiert.
Wenn die Glieder einer Reihe gemäß

variable Funktionen f_i(z) sind, dann wird durch die Reihe für die z-Werte eine Funktion von z definiert, für die die Reihe konvergiert.