Isolierte singuläre Stellen

Wenn eine Funktion f(z) in der Umgebung eines Punktes z₀ analytisch ist, nicht aber in z₀ selbst, dann heißt z₀ eine isolierte singuläre Stelle der Funktion . Ist f(z) in der Umgebung von z₀ in die LAURENT-Reihe

entwickelbar, dann können die isolierten singulären Stellen nach dem Verhalten der LAURENT-Reihen eingeteilt werden:

1. Enthält die LAURENT-Reihe keine Glieder mit negativen Potenzen von , wobei a_n =0 für n <0 gilt, dann geht die LAURENT-Entwicklung in die TAYLOR-Reihe mit den aus der CAUCHYschen Integralformel folgenden Koeffizienten

   über. Die Funktion f(z) ist dann auch im Punkt z₀ analytisch, wenn f(z₀) =a₀ ist oder wenn z₀ eine hebbare Singularität ist.

2. Enthält die LAURENT-Reihe endlich viele Glieder mit negativen Potenzen von , wobei gelten soll , alle a_n = 0 für , dann spricht man von einer außerwesentlichen Singularität im Punkt z₀ oder einem Pol der Ordnung m oder Pol der Vielfachheit m; durch Multiplikation mit , aber keiner niedrigeren Potenz, geht f(z) in eine Funktion über, die in z₀ und Umgebung analytisch ist.
   

   Beispiel

   hat an der Stelle z=0 einen Pol 1. Ordnung.

3. Enthält die LAURENT-Reihe unendlich viele Glieder mit negativen Potenzen von , dann ist z₀ ein wesentlich singulärer Punkt der Funktion . Bei Annäherung an einen Pol wächst | f(z)| über alle Grenzen. Bei Annäherung an eine wesentlich singuläre Stelle kommt f(z) jeder beliebigen komplexen Zahl c beliebig nahe.
   

   Beispiel

   Die Funktion , deren LAURENT-Reihe lautet, hat an der Stelle z=0 eine wesentliche Singularität.