Definition der analytischen Funktion

Eine Funktion f(z) heißt in einem Gebiet G analytisch, regulär oder holomorph, wenn sie in allen Punkten von G differenzierbar ist. Randpunkte von , in denen f'(z) nicht existiert, sind singuläre Punkte von f(z).
Die Funktion ist genau dann in G differenzierbar, wenn u und v stetige partielle Ableitungen nach x und y in G besitzen und dort die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen gelten:

Real- und Imaginärteil einer analytischen Funktion genügen für sich der LAPLACEschen Differentialgleichung

Die Ableitungen der elementaren Funktionen einer komplexen Veränderlichen werden nach den gleichen Formeln berechnet wie die Ableitungen der entsprechenden Funktionen einer reellen Veränderlichen.

Beispiel A

Beispiel B