Beispiele analytischer Funktionen

1. Funktionenklassen
Die elementaren algebraischen und transzendenten Funktionen sind mit Ausnahme einzelner isolierter singulärer Punkte in der gesamten z-Ebene analytisch. Sie besitzen in allen regulären Punkten Ableitungen beliebig hoher Ordnung.
Beispiel A

Die Funktion w=z2 mit u=x2-y2 und v=2xy ist überall analytisch.
Beispiel B

Die Funktion , definiert durch die Gleichungen , ist in keinem Punkt analytisch.
Beispiel C

Die Funktion f(z)=z3 mit f'(z)=3z2 ist analytisch.
Beispiel D

Die Funktion mit ist analytisch.
2. Ermittlung der Funktionen u oder v
Wenn die Funktionen u und v jede für sich der LAPLACEschen Differentialgleichung genügen, sind sie harmonische Funktionen. Ist eine der beiden harmonischen Funktionen bekannt, z.B. , dann kann die zweite bis auf eine additive Konstante als konjugierte harmonische Funktion v mit Hilfe der
CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichung ermittelt werden:
(14.6)

Analog kann u ermittelt werden, wenn v bekannt ist.