Wavelets

Der FOURIER-Transformation fehlt eine Lokalisierungseigenschaft, d.h. ändert sich ein Signal an einer Stelle, dann ändert sich die Transformierte überall, ohne daß durch einfaches Hinsehen  die Stelle der Änderung gefunden werden kann. Der Grund liegt darin, daß die FOURIER-Transformation ein Signal in ebene Wellen zerlegt. Diese werden durch trigonometrische Funktionen beschrieben, die beliebig lange mit derselben Periode schwingen. Bei der Wavelet-Transformation dagegen wird eine fast beliebig wählbare Funktion , das Wavelet (kleine lokalisierte Welle), zur Analyse eines Signals verschoben und gestaucht.

Beispiele für Wavelets sind:

Beispiel A

HAAR-Wavelet (s. die folgende Abbildung):

Beispiel B

Mexikanischer Hut (s. die folgende Abbildung).

Allgemein gilt: Als Wavelet kommen alle Funktionen in Frage, die quadratisch integrierbar sind und deren FOURIER-Transformierte gemäß (15.142a) zu einem positiven endlichen Integral

führen. Im Zusammenhang mit Wavelets sind die folgenden Eigenschaften und Definitionen wichtig:

Mittelwert

1. Für den Mittelwert von Wavelets gilt:
2. Als k-tes Moment eines Wavelets bezeichnet man das Integral

   Die kleinste positive natürliche Zahl , für die gilt, heißt Ordnung des Wavelets .

   Beispiel

   Für das HAAR-Wavelet (15.143) gilt , für den mexikanischen Hut (15.144) .

3. Falls für alle k gilt, ist von unendlicher Ordnung. Wavelets mit beschränktem Träger haben stets eine endliche Ordnung.
4. Ein Wavelet der Ordnung n ist orthogonal zu allen Polynomen vom Grade .