Konvexe Aufgabe

Konvexe Aufgabe wird die Optimierungsaufgabe

genannt, wenn die Funktionen f und g_i konvex sind. Insbesondere können f und g_i lineare Funktionen sein. Für konvexe Aufgaben gilt:

1. Jedes lokale Minimum von f über M ist auch globales Minimum.
2. Ist M nicht leer und beschränkt, dann existiert mindestens eine Lösung von (18.42).
3. Ist f streng konvex, dann existiert höchstens eine Lösung von (18.42).

Optimalitätsbedingungen

1. Ist f stetig partiell differenzierbar, dann ist genau dann Lösung von (18.42), wenn gilt:
2. Die SLATER-Bedingung ist eine Regularitätsbedingung für den zulässigen Bereich . Sie ist erfüllt, wenn ein mit für alle nicht affin linearen Funktionen g_i existiert.
3. Ist die SLATER-Bedingung erfüllt, dann ist genau dann ein Minimalpunkt von (18.42), wenn ein existiert, so daß ein Sattelpunkt der LAGRANGE-Funktion ist. Sind darüber hinaus die Funktionen differenzierbar, dann ist genau dann eine Lösung von (18.42), wenn den lokalen KUHN-TUCKER-Bedingungen genügt.
4. Für ein konvexes Optimierungsproblem mit differenzierbaren Funktionen f und g_i kann das duale Problem (18.41a,b) einfacher formuliert werden:
   

   = (18.44a)

   M^* = (18.44b)

   
   

   Der Gradient von L wird hier nur bezüglich gebildet.
5. Für konvexe Optimierungsaufgaben gilt der starke Dualitätsatz:
   Erfüllt M die SLATER-Bedingung und ist eine Lösung von (18.42), dann existiert ein , so daß eine Lösung des dualen Problems (18.44a,b) ist, und es gilt: