Anwendung des Newton-Verfahrens

Die Funktion f wird im aktuellen Näherungspunkt durch eine quadratische Funktion approximiert:

(18.77)

Dabei ist die HESSE-Matrix, d.h. die Matrix der zweiten partiellen Ableitung von f im Punkt . Ist positiv definit, dann hat an der Stelle mit ein globales Minimum, und man erhält für das NEWTON-Verfahren die Iterationsvorschrift

= (18.78a)
= (18.78b)


Das NEWTON-Verfahren hat eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit, der aber folgende Nachteile gegenüberstehen:

  1. Die Matrix muß positiv definit sein.
  2. Das Verfahren konvergiert nur für hinreichend gute Startwerte.
  3. Es gibt keine Schrittweitensteuerung.
  4. Das Verfahren ist im allgemeinen kein Abstiegsverfahren.
  5. Der Aufwand zur Berechnung von ist mitunter recht groß.

Einige Nachteile können durch die folgende Version eines gedämpften NEWTON-Verfahrens behoben werden:

(18.79)

Der Dämpfungsfaktor kann unter anderem durch Strahlminimierung ermittelt werden.