Konchoide des Nikomedes

Konchoide des NIKOMEDES nennt man den geometrischen Ort aller Punkte für die mit M als Schnittpunkt der Verbindungslinie zwischen 0P₁ und 0P₂ mit der Asymptote x = a die Bedingung

erfüllt ist.

Das Vorzeichen + gilt für den rechten und - für den linken Kurvenzweig. Die Gleichung der Konchoide des NIKOMEDES in kartesischen Koordinaten, in Parameterform und in Polarkoordinaten lautet:

1. Rechter Zweig:

Die Asymptote ist ; der Scheitelpunkt A liegt bei ; die Wendepunkte B, C haben als x-Wert die größte Wurzel der Gleichung
Die Fläche zwischen dem rechten Zweig und der Asymptote ist .

2. Linker Zweig:

Die Asymptote ist ; der Scheitelpunkt D liegt bei . Der Ursprung ist ein singulärer Punkt, dessen Charakter von a und l abhängt:

1. Für l < a ist es ein isolierter Punkt (obere linke Abbildung). Die Kurve hat dann zwei weitere Wendepunkte E und F, deren Abszisse sich als zweitgrößte Wurzel der Gleichung x³ - 3a²x + 2a(a² - l²) = 0 ergibt.
   
2. Für l > a ist der Koordinatenursprung ein Knoten- bzw. Doppelpunkt (obere rechte Abbildung). Die Kurve besitzt ein Maximum und ein Minimum an der Stelle .
   Die Tangentensteigung beträgt im Koordinatenursprung
   Der Krümmungsradius ist hier
   
3. Für l = a wird der Koordinatenursprung zum Rückkehrpunkt (untere Abbildung).