Dualraum, Bra- und Ket-Vektoren

Der Dualraum von ist der Raum aller stetigen linearen Funktionale von nach . Ein Element des Dualraumes ordnet jedem Vektor eine komplexe Zahl zu. Nach dem Satz von RIESZ über stetige lineare Funktionale im HILBERT-Raum gibt es zu jedem Vektor genau ein , so daß für alle gilt. In der DIRAC-Schreibweise wird dieses zu duale Element als bezeichnet und Bra-Vektor genannt. Die Elemente von heißen demgegenüber auch Ket-Vektoren. ¹ In Matrixschreibweise werden Ket-Vektoren als Spaltenvektoren und Bra-Vektoren als Zeilenvektoren notiert.

Die Tatsache, daß gemäß der DIRAC-Schreibweise das Skalarprodukt als Wirkung eines Bra-Vektors auf einen Ket-Vektor aufgefaßt wird, erscheint zunächst nicht weiter bemerkenswert, erlaubt jedoch durch die Möglichkeit der Verkettung von Bra- und Ket-Vektoren mit linearen Operatoren, wie z.B. in Ausdrücken der Form , ein hohes Maß an Flexibilität. Dies macht die DIRAC-Schreibweise sehr geeignet zur praktischen Durchführung von Berechnungen.

Beispiel Bra- und Ket-Vektoren eines zweidimensionalen Hilbert-Raumes

Gegeben sei ein zweidimensionaler HILBERT-Raum mit Orthonormalbasis und . Die Ket-Vektoren sind von der Form: , und werden in Matrixschreibweise als Spaltenvektor notiert.

Die Bra-Vektoren sind als lineare Abbildungen von nach durch die Bilder der beiden Basisvektoren und eindeutig bestimmt. Der zu einem Ket-Vektor duale Bra-Vektor ist wie folgt definiert: bildet auf und auf ab. In Matrixschreibweise wird als Zeilenvektor mit konjugiert komplexen Koeffizienten notiert. Ein beliebiger Ket-Vektor wird durch auf das Skalarprodukt abgebildet.

Anmerkungen:

¹ Die Bezeichnungen bra und ket stammen vom englischen Wort bracket (Klammer).