Diophantische Gleichungen und Lösbarkeit

1. Allgemeiner Fall:

Eine Gleichung wird DIOPHANTische Gleichung in n Unbekannten genannt, wenn ein Polynom in mit Koeffizienten aus der Menge der ganzen Zahlen und b eine ganzzahlige Konstante ist und man sich ausschließlich für ganzzahlige Lösungen interessiert. Die Bezeichnung DIOPHANTisch erinnert an den griechischen Mathematiker DIOPHANT, der um 250 lebte.
DIOPHANTische Gleichungen treten in der Praxis z.B. dann auf, wenn Beziehungen zwischen Stückzahlen beschrieben werden.
Allgemein gelöst sind bisher nur die DIOPHANTischen Gleichungen bis zum zweiten Grad mit zwei Variablen. Für die DIOPHANTischen Gleichungen höheren Grades sind nur in Spezialfällen Lösungen bekannt.

2. Lineare Diophantische Gleichungen in n Unbekannten:

Eine lineare DIOPHANTische Gleichung in n Unbekannten ist eine Gleichung der Form

für die nur die ganzzahligen Lösungen gesucht werden. Im weiteren wird ein Lösungsverfahren angegeben.

3. Lösbarkeitsbedingung:

Unter der Bedingung, daß nicht alle a_i gleich 0 sind, ist die DIOPHANTische Gleichung (5.262) genau dann lösbar, wenn der ein Teiler von b ist.

Beispiel

114x+315y=3 ist lösbar, denn .

Wenn eine lineare DIOPHANTische Gleichung in n Unbekannten (n > 1) eine Lösung hat und der Variablengrundbereich ist, so hat die Gleichung unendlich viele Lösungen. In der Lösungsmenge treten dann n-1 freie Parameter auf. Für Teilmengen von gilt dies aber nicht.