Reduktionsverfahren für n > 2

Gegeben ist die lösbare DIOPHANTische Gleichung

mit und . Wäre , dann müßte man die Gleichung noch durch dividieren. Nach der Umformung

betrachtet man x_n als ganzzahlige Konstante und erhält eine lineare DIOPHANTische Gleichung in n-1 Unbekannten, die genau dann lösbar ist, wenn ein Teiler von b-a_nx_n ist.
Die Bedingung

ist genau dann erfüllt, wenn es ganze Zahlen gibt, für die gilt:

Das ist eine lineare DIOPHANTische Gleichung in zwei Unbekannten, die mit Hilfe des Lösungsverfahrens für n=2 gelöst werden kann. Ist ihre Lösung bekannt, dann hat man nur noch eine lineare DIOPHANTische Gleichung in n-1 Unbekannten zu lösen.
Die beschriebene Reduktion ist fortsetzbar, bis man schließlich eine lineare DIOPHANTische Gleichung in zwei Unbekannten erhält, die mit dem Verfahren für n=2 gelöst werden kann.
Aus den zwischenzeitlich berechneten Lösungsmengen für DIOPHANTische Gleichungen in zwei Unbekannten muß man nun nur noch die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung ablesen.

Beispiel

Es ist die DIOPHANTische Gleichung

2x+4y+3z=3 (5.265a)

zu lösen. Sie ist lösbar, denn ist ein Teiler von 3.
Die DIOPHANTische Gleichung

2x+4y=3-3z (5.265b)

in den Unbekannten x,y ist genau dann lösbar, wenn ein Teiler von 3-3z ist. Die zugehörige DIOPHANTische Gleichung 2z'+3z=3 hat die Lösungsmenge Daraus folgt z=3-2t, und gesucht ist nun die Lösungsmenge der lösbaren DIOPHANTischen Gleichung 2x+4y=3-3(3-2t) bzw.

x+2y=-3+3t (5.265c)

für jedes
Die Gleichung (5.265c) ist lösbar wegen . Es gilt und Die Lösungsmenge ist Daraus folgt so daß sich die Lösungsmenge von (5.265a) zu ergibt.