Interpretation prädikatenlogischer Ausdrücke

Eine Interpretation eines Ausdrucks der Prädikatenlogik besteht aus

1. einer Menge (Individuenbereich) und
2. einer Zuordnung, die jeder n-stelligen Prädikatenvariablen ein n-stelliges Prädikat zuweist.

Die Interpretation einer geschlossenen Formel liefert somit eine Aussage. Enthält ein Ausdruck der Prädikatenlogik freie Variable, so repräsentiert eine Interpretation dieses Ausdrucks eine Relation (s. n-stellige Relationen) im Individuenbereich.

Beispiel

Sei P das zweistellige Prädikat, das im Individuenbereich der natürlichen Zahlen die Beziehung beschreibt, so charakterisiert

• P(x,y) die Menge aller Paare (x,y) natürlicher Zahlen mit (zweistellige Relation in ); x,y sind freie Variable;
• die Teilmenge von (einstellige Relation), die nur aus der Zahl 0 besteht; x ist freie, y gebundene Variable;
• die Aussage Es gibt eine kleinste natürliche Zahl ; x und y sind gebundene Variable.

Ein Ausdruck der Prädikatenlogik heißt wahr für eine gegebene Interpretation, wenn für jede Ersetzung der freien Variablen durch Elemente aus dem Individuenbereich eine wahre Aussage entsteht. Ein Ausdruck der Prädikatenlogik heißt allgemeingültig oder Tautologie, wenn er für alle Interpretationen wahr ist.