Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen

1. Prinzip:
Der Grad der Zugehörigkeit eines beliebigen Elements zu den Mengen bzw. soll nur von den beiden Zugehörigkeitsgraden und des Elementes zu den beiden unscharfen Mengen A und B abhängen. Mit Hilfe zweier Funktionen
(5.368)

lassen sich die unscharfe Mengenvereinigung und der unscharfe Mengenschnitt wie folgt definieren:

(5.369)
(5.370)

Die Zugehörigkeitsgrade und werden in einen neuen Zugehörigkeitsgrad abgebildet. Die Funktionen t und s werden t-Norm und t-Konorm, letztere auch s-Norm genannt.

2. Interpretation:
Die Funktionen und stellen den Wahrheitswert dar, der sich aus der Verknüpfung der Wahrheitswerte und ergibt.
3. Definition der t-Norm:
Die t-Norm ist eine binäre Operation t in [0,1] und eine Abbildung
(5.371)

Sie ist symmetrisch, assoziativ, monoton wachsend und besitzt 0 als Nullelement und 1 als neutrales Element.
Für gelten folgende Eigenschaften:

(E1) Kommutativität:
(5.372a)
(E2) Assoziativität:
(5.372b)
(E3) Spezielle Operationen mit Nullelement 0 und neutralen Element 1:
(5.372c)
(E4) Monotonie:
(5.372d)
Definition der s-Norm:
Die s-Norm ist eine binäre Operation s in [0,1] und eine Abbildung
(5.373)

Sie besitzt die folgenden Eigenschaften:

(E1) Kommutativität:
(5.374a)
(E2) Assoziativität:
(5.374b)
(E3) Spezielle Operationen mit Nullelement 0 und neutralen Element 1:
(5.374c)
(E4) Monotonie:
(5.374d)

Mit Hilfe dieser Eigenschaften lassen sich jeweils eine ganze Klasse T von Funktionen der t-Normen bzw. eine Klasse S von Funktionen der s-Normen einführen. Detailierte Untersuchungen haben gezeigt, daß der folgende Zusammenhang gilt:

(5.374e)
(5.374f)