Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion

Wenn die Funktion in der impliziten Form F(x,y) = 0 gegeben ist und die Funktion F selbst sowie ihre partiellen Ableitungen F_x, F_y stetig sind, können die Maxima und Minima folgendermaßen bestimmt werden:

1. Lösung des Gleichungssystems

und Einsetzen der erhaltenen Werte in F_y und .

2. Vorzeichenvergleich für F_y und F_xx im Punkt (x_i,y_i):

Im Falle verschiedener Vorzeichen besitzt die Funktion y = f(x) bei x_i ein Minimum, im Falle gleicher Vorzeichen von F_y und F_xx besitzt sie ein Maximum bei . Wenn jedoch F_y oder F_xx in (x_i,y_i) verschwindet, dann ist die weitere Untersuchung komplizierter.