Partielle Ableitung 2. Ordnung. SCHWARZscher Vertauschungssatz

Die partielle Ableitung 2. Ordnung einer Funktion kann sowohl nach der gleichen Variablen gebildet werden, wie die erste Ableitung, d.h. , als auch nach einer anderen Variablen, d.h. . Im zweiten Falle spricht man von einer gemischten Ableitung. Der Wert einer gemischten Ableitung ist für gegebene Werte von x₁ und x₂ unabhängig von der Reihenfolge der Ableitungsbildung, wenn die gemischte Ableitung in dem betrachteten Punkt stetig ist. Man spricht vom SCHWARZschen Vertauschungssatz:

Partielle Ableitungen höherer Ordnung, wie z.B. sind analog definiert.