Funktion von einer Veränderlichen

Gegeben sei eine Funktion sowie ein funktionaler Zusammenhang, der die unabhängige Variable, die Funktion und deren Ableitungen enthält:

Die Ableitungen können dann bei der Substitution der Variablen auf die folgende Weise berechnet werden:

Fall 1a:

Die Variable x wird durch die Variable t ersetzt, die mit x gemäß

verknüpft ist. Dann gilt

Fall 1b:

Wenn die Verknüpfung beider Variabler nicht in expliziter, sondern in der impliziten Form

gegeben ist, werden die Ableitungen mit denselben Formeln berechnet, aber die Ableitungen sind nach den Regeln für implizite Funktionen zu berechnen. In diesem Falle kann es vorkommen, daß der Zusammenhang (6.59b) die Variable x enthält. Zur Eliminierung wird dann die Verknüpfung (6.61) benutzt.

Fall 2:

Die Funktion y wird durch eine Funktion u ersetzt, die mit y gemäß

verknüpft ist. Die Berechnung der Ableitungen kann dann mit den folgenden Formeln erfolgen:

Fall 3:

Die Variablen x und y werden durch die neuen Veränderlichen t und u ersetzt, die mittels der Formeln

verknüpft sind. Zur Berechnung der Ableitungen können die folgenden Formeln verwendet werden:

= (6.63c)

= (6.63d)

mit

Die Berechnung der dritten Ableitung geschieht in analoger Weise.

Beispiel

Für die Transformation kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten gemäß

berechnen sich die erste und zweite Ableitung wie folgt: