Funktion von zwei Veränderlichen

Gegeben sei eine Funktion sowie ein funktionaler Zusammenhang, der die unabhängigen Variablen, die Funktion und deren partielle Ableitungen enthält:

Wenn x und y durch neue Variable u und , gegeben durch

substituiert werden, können die partiellen Ableitungen erster Ordnung aus dem Gleichungssystem

mit den neuen Funktionen A, B, C und D von u und v berechnet werden zu

Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung werden mit denselben Formeln berechnet, aber indem sie nicht auf sondern auf dessen partielle Ableitungen und angewendet werden, z.B.

Die höheren partiellen Ableitungen können in derselben Weise berechnet werden.

Beispiel

Der LAPLACE-Operator soll in Polarkoordinaten ausgedrückt werden:

Gang der Rechnung:

Analog wird berechnet, so daß man erhält:

Hinweis: Wenn Funktionen mit mehr als zwei Veränderlichen substituiert werden sollen, können ähnliche Substitutionsformeln hergeleitet werden.