Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen

Wenn das Extremum einer Funktion mit n Veränderlichen bestimmt werden soll, die voneinander abhängig und durch die Nebenbedingungen

miteinander verknüpft sind, wobei die Anzahl dieser Verknüpfungen k < n sein muß, dann führt man gemäß der Multiplikatorenmethode von LAGRANGE k unbestimmte Multiplikatoren ein und betrachtet die folgenden LAGRANGE-Funktionen der n+k Veränderlichen :

Die notwendige Bedingung für ein Extremum der Funktion ist ein System von n + k Gleichungen (6.72) mit den Unbekannten in der Form

Als notwendige Bedingung dafür, daß die Funktion f im Punkte ein Extremum besitzen kann, muß das Wertesystem diese Gleichungen erfüllen.

Beispiel

Die Extremwerte der Funktion u = f(x,y) mit der Nebenbedingung werden aus den drei Gleichungen

mit den drei Unbekannten bestimmt.