Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veränderlichen

Die notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung dafür, daß die Funktion für ein Wertesystem ein Extremum besitzt, besteht darin, daß das Wertesystem die n Gleichungen

erfüllt. Im allgemeinen Falle sind die hinreichenden Bedingungen von komplizierter Art. Damit man die Frage, ob die Funktion für ein Lösungssystem der Gleichung (6.72) ein Extremum besitzt oder nicht, effektiv beantworten kann, untersucht man solche Werte der Funktion, die nahe bei liegen.
Mit Hilfe der Extremwertbestimmung bei Funktionen von mehreren Veränderlichen lassen sich viele Approximationsaufgaben, die vor allem unter dem Namen Ausgleichsaufgaben oder Quadratmittelaufgaben bekannt sind, lösen. Dazu gehören:

• Bestimmung von FOURIER-Koeffizienten (s. auch Formeln für die FOURIER-Koeffizienten),
• Bestimmung der Ansatzkoeffizienten und Parameter von Näherungsfunktionen durch Approximation im Mittel,
• Bestimmung einer Näherungslösung für überbestimmte lineare Gleichungssysteme.

Hinweis: Für die Lösungsmethode sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich:

• GAUSSsche Fehlerquadratmethode,
• Methode der kleinsten Quadrate,
• Approximation im Mittel (stetig und diskret),
• Ausgleichsrechnung und Regression.