Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen

1. Notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe:

Die Folge der Glieder einer konvergenten Reihe muß gegen Null streben:

Hierbei handelt es sich um eine notwendige, nicht aber um eine hinreichende Bedingung.

2. Weglassen, Hinzufügen oder Vertauschen von Gliedern:

Werden endlich viele Anfangsglieder einer Reihe weggelassen oder endlich viele Glieder einer Reihe hinzugefügt oder endlich viele Glieder vertauscht, dann ändert sich das Konvergenzverhalten der Reihe nicht.

3. Multiplikation aller Glieder:

Werden alle Glieder einer konvergenten Reihe mit ein und demselben Faktor c multipliziert, dann bleibt die Konvergenz der Reihe ungestört; ihre Summe ist mit dem Faktor c zu multiplizieren.

4. Gliedweise Addition oder Subtraktion:

Konvergente Reihen dürfen gliedweise addiert oder subtrahiert werden. Aus der Konvergenz der Reihen

folgt die Konvergenz der folgenden Reihe mit der angegebenen Summe:

Beispiel

Für die harmonische Reihe (7.16) ist aber