Konvergente und divergente Reihen

Man spricht von einer konvergenten Reihe (7.12), wenn die Folge { S_n} der Partialsummen konvergiert. Den Grenzwert

nennt man die Summe und a_k das allgemeine Glied der Reihe. Wenn der Grenzwert (7.14) nicht existiert, spricht man von einer divergenten Reihe. In diesem Falle können die Partialsummen unbegrenzt wachsen oder oszillieren. Die Frage nach der Konvergenz einer unendlichen Reihe wird somit auf die Existenz eines Grenzwertes der Folge { S_n} zurückgeführt.

Beispiel A

Die geometrische Reihe

ist konvergent.

Beispiel B

Die harmonische Reihe

und die Reihen

und

sind divergent. Während für die Reihen (7.16) und (7.17) ist, oszilliert (7.18).