Eigenschaften von Zahlenfolgen

1. Definition der Zahlenfolge:

Ist eine unendliche Menge von Zahlen

in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet, dann spricht man von einer unendlichen Zahlenfolge. Die Zahlen der Zahlenfolge werden Glieder der Zahlenfolge genannt. Unter den Gliedern einer Zahlenfolge können auch gleiche Zahlen auftreten. Eine Folge gilt als gegeben, wenn das Bildungsgesetz der Zahlenfolge, d.h. eine Regel, bekannt ist, nach der jedes beliebige Glied der Zahlenfolge bestimmt werden kann. Häufig läßt sich eine Formel für das allgemeine Glied a_n angeben.

Beispiele für Zahlenfolgen:

Beispiel A

Beispiel B

Beispiel C

Beispiel D

Beispiel E

Beispiel F

Ungerades n: .
Gerades n: .
Ergebnis: .

Beispiel G

Beispiel H

Beispiel I

für ungerades n und a_n=0 für gerades n:
.

Beispiel J

für ungerades n und für gerades n:
.

2. Monotone Zahlenfolgen:

Man nennt eine Folge monoton wachsend, wenn gilt

und monoton fallend, wenn gilt

Man spricht von einer streng monoton wachsenden Folge bzw. streng monoton fallenden Folge, wenn in (7.2) bzw. (7.3) die Gleichheitszeichen nicht zugelassen sind.

Beispiel A

Von den Folgen in den Beispielen A bis J sind die Folgen in A, B, E streng monoton wachsend.

Beispiel B

Die Folge in Beispiel G ist streng monoton fallend.

3. Beschränkte Folgen:

Eine Folge heißt beschränkt, wenn für alle ihre Glieder gilt

wobei K > 0 ist. Existiert eine solche Zahl K (Schranke) nicht, dann spricht man von einer unbeschränkten Folge.

Beispiel

Von den Folgen in den Beispielen A bis J sind die Folgen in C mit , in D mit , in E mit , in F mit , in G mit K=2 und in J mit K=13 beschränkt.