Grenzwerte von Zahlenfolgen

1. Grenzwert einer Zahlenfolge:

Eine unendliche Zahlenfolge (7.1) hat den Grenzwert , wenn mit unbegrenzt wachsendem Index n die Differenz a_n-A dem Betrage nach beliebig klein wird. Genauer formuliert bedeutet das: Zu jeder beliebig kleinen Zahl läßt sich ein Index so bestimmen, daß für alle n>n₀ gilt

2. Konvergenz einer Zahlenfolge:

Eine Zahlenfolge die (7.5) erfüllt, heißt konvergent gegen . Man schreibt dann

Beispiel

Von den Folgen in den Beispielen A bis J sind konvergent: die Folge in C mit , in E mit , in F mit , und in G mit .

3. Divergenz einer Zahlenfolge:

Nichtkonvergente Zahlenfolgen heißen divergent. Man spricht von bestimmter Divergenz, wenn a_n mit unbegrenzt wachsendem n nach der positiven oder negativen Seite jede vorgegebene Zahl K von beliebig großem Betrag überschreitet. Man schreibt dann:

Anderenfalls spricht man von unbestimmter Divergenz.

Beispiel A

Von den Folgen in den Beispielen A bis J sind die Folgen A und B gegen bestimmt divergent.

Beispiel B

Von den Folgen in den Beispielen A bis J ist die Folge D unbestimmt divergent.

4. Sätze über Grenzwerte von Zahlenfolgen:

1. Wenn die Folgen {a_n} und {b_n} konvergieren, gilt

   Hinweis: Wenn gilt und die Folge {a_n} beschränkt ist, dann gilt
   sogar dann, wenn keinen endlichen Grenzwert hat.

2. Wenn gilt und wenigstens von einem Index n₁ ab stets ist, dann gilt auch
3. Eine monotone beschränkte Folge besitzt stets einen endlichen Grenzwert. Ist eine monoton wachsende Folge nach oben beschränkt, d.h. für alle bzw. eine monoton fallende nach unten, d.h. für alle so konvergiert sie gegen einen Grenzwert, der nicht größer als die obere Schranke K₁ bzw. nicht kleiner als die untere Schranke K₂ ist.