Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen

1. Stetigkeit:

Wenn stetige Funktionen in einem Definitionsbereich sind und wenn die Reihe in diesem Gebiet gleichmäßig konvergiert, dann ist ihre Summe S(x) in dem gleichen Gebiet eine stetige Funktion. Wenn die Reihe in einem endlichen Gebiet nicht gleichmäßig konvergiert, dann kann ihre Summe S(x) in diesem Gebiet Unstetigkeitsstellen besitzen.

Beispiel A

Die Summe der Reihe (7.73a) ist unstetig: S(x) = 0 für x = 0 und S(x) = 1 für .

Beispiel B

Die Summe der Reihe (7.72a) ist eine stetige Funktion: Die Reihe ist ungleichmäßig konvergent, aber nicht in einem endlichen Gebiet, sondern auf der gesamten Zahlengeraden.

2. Integration und Differentiation gleichmäßig konvergenter Reihen:

Im Gebiet [a,b] der gleichmäßigen Konvergenz darf eine Reihe gliedweise integriert werden. Ebenso darf eine konvergente Reihe gliedweise differenziert werden, wenn die dadurch entstehende Reihe gleichmäßig konvergent ist. Das heißt: